सरासरी

सरासरी

N संख्यांची सरासरी = दिलेल्या संख्यांची बेरीज / n, n = एकूण संख्या
क्रमश: संख्यांची सरासरी ही मधली संख्या असते.
उदाहरणार्थ – 12, 13, [14], 15, 16  या संख्या मालेतील संख्यांची सरासरी = 14
संख्यामाला दिल्यावर ठरावीक संख्यांची (n) सरासरी काढण्यासाठी
n या क्रांश: संख्यांची सरासरी = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) / 2
उदा. 1) क्रमश: 1 ते 25 अंकांची सरासरी = 1+25/2 = 26/2 = 13
1 ते 20 पर्यंतच्या सर्व विषम संख्यांची सरासरी =1+19/2 =20/2 =10
N या क्रमश:  संख्यांची बेरीज = (पहिली संख्या + शेवटची संख्या) x n/ 2
उदा.
1) 1 ते 100 अंकांची बेरीज = (1+100)x20/2 = 81×20/2 = 810
(31 ते 50 संख्यांमध्ये एकूण 20 संख्या येतात. यानुसार n = 20)
नमूना पहिला –

उदा.

चार क्रमवार सम संख्यांची सरासरी 35 आहे, तर त्यापैकी सर्वात लहान संख्या कोणती?

32
30
34
28
उत्तर : 32

क्लृप्ती :-

सरासरी संख्या ही क्रमवार संख्यांच्या मधली संख्या असते.

32, 34, [35], 36, 38

नियम –

क्रमश: असलेल्या अंकांची सरासरी = (पहिली संख्या+शेवटची संख्या) ÷ 2

वरील सूत्रानुसार 1+20/2 = 10.5,  1+10/2 = 5.5 

यावरून (10.5-5.5) = 5

नमूना दूसरा –

उदा.

क्रमश: 1 ते 100 अंकांची बेरीज किती?

5050
10050
10100
2525
उत्तर : 5050

क्लृप्ती :

क्रमश: संख्यांची बेरीज = सरासरी × एकूण संख्या = 1+100/2 ×100 किंवा

= 101×100/2 = 101×50 = 5050 

नमूना तिसरा-

उदा.

35, 39, 45, 36, आणि 4* या दोन अंकी संख्यांची सरासरी 39 आहे; तर शेवटच्या संख्येतील एकक स्थानचा * च्या जागे वरील अंक कोणता?

3
5
0
7
उत्तर : 0

क्लृप्ती : 

सरासरी = 39 [मधली संख्या  (35 36 39 45 4*)]

एकूण = 39×5 = 195 

एकक स्थानी 5 येण्यास 5+9+5+6+* = 25 = 0 = 25   

0+5 = 5    

:: * = 0

नमूना चौथा –

उदा.

क्रमश: पाच विषम संख्यांची सरासरी 37 आहे. त्यापुढील 5 विषम संख्यांची सरासरी 47 आहे; तर त्या दहाही संख्याची सरासरी किती?

44
43
42
40
उत्तर : 42

क्लृप्ती :

एकूण संख्यांची सरासरी = सरसरींची बेरीज / एकूण संख्या (N) 37+47/2 = 42

नमूना पाचवा –

उदा.

एका नावेत सरासरी 22 कि.ग्रॅ. वजनाची 25 मुले बसली. नावाड्यासह सर्वाचे सरासरी वजन 24 कि.ग्रॅ. झाले तर नावाड्याचे वजन किती?

74 कि.ग्रॅ.
71 कि.ग्रॅ.
75 कि.ग्रॅ.
100 कि.ग्रॅ.
उत्तर : 74 कि.ग्रॅ.

नावाड्याचे वजन = (सरासरीतील फरक × विधार्थ्यांची संख्या) + नवीन सरासरी

क्लृप्ती :

सरसरीतील फरक = 24 -22   2×25.   

नावाड्याचे वजन = 50+24 = 74

नमूना सहावा –

उदा.

एका वर्गातील सर्व मुलांच्या वयांची सरासरी 15 वर्षे आहे. त्यापैकी 15 मुलांच्या वयांची सरासरी 12 वर्षे आहे व उरलेल्या मुलांची सरासरी 16 वर्षे आहे, तर त्या वर्गात एकूण मुले किती?

60
45
40
50
उत्तर : 60

स्पष्टीकरण :-

15 मुलांच्या वयांची सरासरी एकूण मुलांच्या सरासरी पेक्षा 3 ने कमी व उरलेल्या मुलांच्या वयाची सरासरी 1 ने जास्त आहे. एकूण भरून काढावयाची वर्षे = 3×15 विधार्थी = 45 वर्षे

उरलेल्या विधार्थ्यांपैकी 1 विधार्थी 1 वर्ष भरून काढतो.

उरलेले विधार्थी = 1×45 = 45 विधार्थी

:: एकूण विधार्थी = 45+15 = 60 विधार्थी

नमूना सातवा –

उदा.

एका दुकानदाराची 30 दिवसांची सरासरी विक्री 155 रु. आहे पहिल्या 15 दिवसांची सरासरी विक्री 190 रु. असल्यास; नंतरच्या 15 दिवसांची एकूण विक्री किती?

285
2375
1800
1950
उत्तर : 1800

क्लृप्ती : –

(155 – सरसरीतील फरक)×15

= (155-35)×15

= 120×15

= 1800

नमूना आठवा –

उदा.

ताशी सरासरी 60 कि.मी. वेगाने जाणारी आगगाडी निर्धारित ठिकाणी निर्धारित वेळेत पोहचते. जर ती ताशी सरासरी 50 कि.मी. वेगाने गेल्यास ती निर्धारित वेळेपेक्षा 30 मिनिटे उशीरा पोहचते. तर तिने कापावयाचे एकूण अंतर किती?

300 कि.मी.
150 कि.मी.
450 कि.मी.
यापैकी नाही
उत्तर : 150 कि.मी.

स्पष्टीकरण :-

एकूण अंतर x मानू

∷x/50-x/60=30/60   

∶:(6x-5x)/300=1/2    

x= 300/2

=150 कि.मी.

_______________________

गुणोत्तर व प्रमाण

गुणोत्तर व प्रमाण यांच्या विषयी संपूर्ण माहिती

दोन किवा त्यापेक्षा अधिक सजातीय राशींची केलेली तुलना म्हणजे गुणोत्तर होय.
ज्या राशींचे गुणोत्तर काढायचे त्यांची एकके समान करून घ्यावीत.
गुणोत्तर हा समान एकके असलेल्या राशींचा भागाकार असतो म्हणून त्यास एकके नसतात.
A व B या दोन संख्यामध्ये A चे B शी असलेले गुणोत्तर A/B or A:B असे लिहावे.
तसेच B चे A शी असलेले गुणोत्तर B/A or B:A

संपूर्ण संख्याशास्त्र

Ex. 50cm चे 2m शी गुणोत्तर

2m = 2*100 = 200

50/200 = 1/4 = 1:4

A,B,C,D ह्या चार संख्या A:B=C:D अशा पद्धतीने असतील म्हणजे त्या चार संख्या A/B = C/D प्रमाणात असतात.

पहिली आणि शेवटची संख्या यांना अंत्यपदे म्हणतात.
आणि मधल्या दोन संख्यांना मध्यपदे म्हणतात.
(Note: अंत्यपदांचा गुणाकार=मध्यपदांचा गुणाकार जेव्हा त्या संख्या प्रमाणात असतील तेव्हा)
ex. 2,4,6,12
2/4 = 6/2

1/2 = 3/1

A,B,C ह्या तीन संख्या प्रमाणात असतील म्हणजे त्या तीन संख्या A/B = B/C = B2=AC

(Note: मध्यपदाचा वर्ग=अंत्यपदांचा गुणाकार जेव्हा त्या संख्या प्रमाणात असतील तेव्हा)
ex. m,100,250 ह्या प्रमाणात आहेत तर m=?
(100)2=m*250

1000=250*m

m=1000/250=40

दोन संख्यांची बेरीज A असते व वजाबाकी B असते तेव्हा त्या दोन संख्येचे एकमेकांशी गुणोत्तर

A+B/A-B

अपूर्णाकाचे गुणोत्तर :

गुणोत्तर म्हणजे भागाकर असतो त्यामुळे अपूर्णाकाचे गुणोत्तर काढतांना पहिला अपूर्णाक तसाच ठेवून दुसर्‍या अंकाचा गुणाकार व्यस्त घ्यावा व गुणाकार करावा.

ex.2/3 चे 5/7

2/3*7/5 = 14/15

दशांश अपूर्णाकाचे गुणोत्तर :

दशांश अपूर्णाकाचे गुणोत्तर काढतांना त्या संख्येमध्ये दशांश चिन्हानंतर समान अंक करून घ्यावे आणि मग दशांश चिन्ह काढून मग संक्षिप्त रूप द्यावे.

ex. 0.25 चे 0.3

25 / 30 = 5:6

दोन समभुज त्रिकोणाच्या बाजू/दोन चौरसाच्या बाजू/दोन वर्तुळाच्या त्रिज्या यांचे प्रमाण A:B असेल तर त्यांच्या क्षेत्रफळाचे प्रमाण A2: B2असते.

ex. समभुज त्रिकोणाच्या बाजू = 4:5
क्षेत्रफळाचे प्रमाण (4)2:(5)2 =16:25

दोन घनांच्या बाजूचे प्रमाण/दोन गोलांच्या त्रिज्येचे गुणोत्तर तर त्यांच्या घनफळाचे गुणोत्तर A3:B3

ex. दोन घनांच्या बाजूचे प्रमाण 6:7

घनांचे प्रमाण (6)3: (7)3 = 36:49

उदाहरणे :

नमूना पहिला –
उदा. 9/15=x/70;  ∶:  x=?

128
42
39
56
उत्तर : 42

नियम :-
a/b=c/d   तर ad×bc
उदा.दिल्याप्रमाणे 9/15=X70=15x=9×70 ;
∶: x =9×70/15=42 किंवा
∷9/15=x/70
3×14/5×14= 42/70
(3:5 या प्रमाणात अंश व छेद आहेत)
नमूना दूसरा –
उदा. दोन वर्तुळांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर 4:5 आहे, तर त्यांच्या परिघांचे गुणोत्तर किती?

22/7:1
7:22
4:5
5:4
उत्तर : 4:5

स्पष्टीकरण :-
(परिघांचे गुणोत्तर=त्रिज्यांचे गुणोत्तर)
नमूना तिसरा –
उदा. एका त्रिकोणाच्या बाहयकोनांच्या मापांचे गुणोत्तर 3:7:8 आहे.; तर त्या त्रिकोणाच्या आंतर कोनांपैकी सर्वात मोठा कोन किती मापाचा असेल?

1800
1440
1600
1200
उत्तर : 1200

स्पष्टीकरण :-
त्रिकोणाच्या बाह्य कोनांची बेरीज = 3600. सूत्रांनुसार 3+7+8=18 भाग = 3600
:: 1 भाग = 200, लहान बाह्यकोनाचा आंतरकोन मोठा असतो.
लहान बाहयकोन = 3×20=600
मोठा आंतरकोन = 180-60 = 1200
नमूना चौथा –
उदा. विनू व सदू यांच्या वयांचे गुणोत्तर 5:3 आहे, सदू व मधु यांच्या वयांचे गुणोत्तर 4:7 आहे, तर विनू व मधू यांच्या वयांचे गुणोत्तरकिती?

9:10
3:7
20:21
20:35
उत्तर : 20:21

क्लृप्ती :-
विनू     सदू     मधू
5     3
4     7
विनू व मधू यांच्या वयांचे गुणोत्तर 20:21
20 : 12 : 21
नमूना पाचवा –
उदा. पाच लीटरच्या 40% अल्कोहोल असलेल्या द्रवणात 3 लीटर पाणी मिसळविल्यास  नवीन द्रवणातील अल्कोहोलचे प्रमाण किती टक्के होईल?

20%
25%
27.5%
30%
उत्तर : 25%

स्पष्टीकरण :
5 लीटरचे 40% = 5+3=8 लीटरचे किती टक्के?
5 चे 40%= 8 चे x%
x% = 5×40/8
= 5×5
= 25%
नमूना सहावा –
उदा. पाच लीटर औषधी द्रावणात 6% अल्कोहोल असलेले किती लीटर द्रावण मिळवावे, म्हणजे नवीन द्रावणातील अल्कोहोलचे प्रमाण 2% होईल?

3 ली.
2.5 ली.
3.5 ली.
4 ली.
उत्तर : 2.5 ली.

स्पष्टीकरण :-
अल्कोहोल असलेले द्रावण x लीटर मानू.
:: x चे 6%= 5 + x चे 2%
:: 6×x/100= (5+x)×2/100
6x = (5+x) × 2
:: 6x=10+2x
:: 4x=10
:: x =10/4
= 2.5 लीटर
नमूना सातवा –
उदा. 12 मिनिटांचे 36 सेकंदाशी गुणोत्तर किती?

1:20
100:3
20:1
3:40
उत्तर : 20:1

स्पष्टीकरण :-
12 मिनिटे = 12×60
= 720 सेकंद
:: 720:36 = 20:1
नमूना आठवा –
उदा. 12: x : 27 या तिन्ही संख्या प्रमाणात आहेत, तर x=किती?

24
21
18
14
उत्तर : 18

स्पष्टीकरण :-
तीन संख्या प्रमाणात असल्यास (मध्य पदाचा)2= अत्यंपदांचा गुणाकार
:: x2=12 × 27
:: x = √4×3×3×9
= 2×3×3
= 18

क्लृप्ती :-
12 ची 3/2 पट
= 18,
18 ची पट 3/2 पट
= 27

विभाजतेच्या कसोट्या

विभाजतेच्या कसोट्या :

2 ची कसोटी :
– ज्या संख्येच्या एकक स्थानी 2, 4, 6, 8 अशा संख्या असतात.
– उदा. 42, 52 68, 86, 258, 1008 इ.

3 ची कसोटी :
– ज्या संख्येच्या अंकांच्या बेरजेला तीनने भाग जातो, त्या संख्येला तीनने भाग जातो.
– उदा. 57260322, 5+7+2+6+0+3+2+2=27
– संख्येची बेरीज 27 आणि तिला तीनने भाग जातो म्हणून त्या संख्येला तीनने भाग जातो.

Must Read (नक्की वाचा):
संपूर्ण संख्याशास्त्र

4 ची कसोटी :
– ज्या संख्येच्या शेवटच्या दोन अंकांना चार ने भाग जातो. त्या संख्येला चारने भाग जातो.
– उदा. 3568912
– शेवटचे दोन अंक 12 आणि त्याला चारने भाग जातो म्हणून त्या संख्येला चारने भाग जातो.

5 ची कसोटी :
– ज्या संख्येच्या एकक स्थानी 0 किवा 5 असेल, त्या संख्येला पाचने भाग जातो.
– उदा. 3725480, 58395, 5327255 इ.

6 ची कसोटी :
ज्या संखेळा 2 आणि 3 ने भाग जातो त्या संख्येला 6 ने पण भाग जातो.

9 ची कसोटी :
– ज्या संख्येच्या अंकांच्या बेरजेला नऊने भाग जातो, त्या संख्येला नऊने भाग जातो.
– उदा. 57260322, 5+7+2+6+0+3+2+2=27
– संख्येची बेरीज 27 आणि तिला नऊने भाग जातो म्हणून त्या संख्येला नऊने भाग जातो.

10 ची कसोटी :
– ज्या संख्येच्या एकक स्थानी 0 असतो त्या संख्येला 10 ने भाग जातो.
– उदा. 100, 60, 5640, 57480, 354748, 3450 इ.

11 ची कसोटी :
– ज्या संख्येतील फरक 0 किवा ती संख्या 11 च्या पटीतील असेल तर त्या संख्येस 11 ने भाग जातो.
– उदा. 956241 1+2+5=8 & 9+6+4=19 दोघातील फरक 11 म्हणून या संख्येला 11 ने भाग जातो.
– 72984 4+9+7=20 & 8+2=10 दोघांतील फरक -10 म्हणून या संख्येला 11 ने भाग जात नाही.
– 5984 4+9=13 & 5+8=13 दोघांतील फरक 0 म्हणून या संख्येला 11 ने भाग जातो.

12 ची कसोटी :
– ज्या संख्येला 3 ने आणि 4 ने भाग जातो म्हणून त्या संख्येला 12 ने पूर्ण भाग जातो.

15 ची कसोतो :
– ज्या संख्येला 5 आणि 3 ने भाग जातो म्हणून त्या संख्येला 15 ने पूर्ण भाग जातो.

16 ची कसोटी :
– ज्या संखेच्या शेवटच्या चार अंकांना 16 ने भाग गेल्यास त्या संख्येला पण 16 ने भाग जातो.

18 ची कसोटी :
– ज्या संख्येला 2 आणि 9 ने भाग जातो त्या संख्येला 18 ने भाग जातो.

उदाहरणे :
1) 2 ने नि:शेष भाग जाणारी खालीलपैकी संख्या कोणती?
1. 3721
2. 47953
3. 72142
4. 68325
उत्तर : 72142
नियम: संख्येतील एकक स्थानचा अंक सम असल्यास 2 ने नि:शेष भाग जातो.

2) 3 ने नि:शेष भाग जाणारी खालीलपैकी संख्या कोणती?
1. 37241
2. 571922
3. 7843
4. 64236
उत्तर : 64236
नियम:
संख्येतील अंकांच्या बेरजेस 3 ने पूर्ण भाग गेल्यास
6+4+2+3+6=21÷3 = 7

3) 5 ने नि:शेष भाग जाणारी खालीलपैकी संख्या कोणती?
1. 56824
2. 9876
3. 7214
4. 7485
उत्तर : 7485
नियम: संख्येच्या एककस्थानी 0 किंवा 5 असल्यास 5 ने नि:शेष भाग जातो.

4) 6 ने नि:शेष भाग जाणारी खालीलपैकी संख्या कोणती?
1. 3472
2. 5634
3. 9724
4. 6524
उत्तर : 5634

5) 9 ने नि:शेष भाग जाणारी खालील पैकी संख्या कोणती?
1. 12643
2. 85521
3. 75636
4. 54829
उत्तर : 75636

(ब) संख्यांचे विभाजक

नमूना पहिला –
1) 60 या संख्येच्या एकूण विभाजकांची संख्या किती?
1. 10
2. 12
3. 14
4. 8
उत्तर : 12
स्पष्टीकरण :-
कोणत्याही सम संख्येचे विभाजक 1,2 व ती संख्या असतेच.
60×1, 30×2, 20×3, 15×4, 12×5, 10×6
:: 6×2 = 12

नमूना दूसरा –
1) 36 ही संख्या दोन पूर्ण संख्यांचा गुणाकाराच्या रूपात जास्तीत जास्त किती प्रकारे (वेळा) लिहिता येईल?
1. 4
2. 6
3. 5
4. 8
उत्तर : 5
स्पष्टीकरण :
1×36, 2×18, 3×12, 4×9, 6×6 म्हणजेच एकूण 5 वेळा लिहिता येईल.

गणितातील महत्वाची सूत्रे,बैजीक राशीवरील महत्वाची सूत्रे

गणितातील महत्वाची सूत्रे (भाग 2)

वर्तुळ –

त्रिज्या(R)- वर्तुळाच्या केंद्रबिंदूतून निघून परिघाला जाऊन मिळणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची त्रिज्या म्हणतात.
वर्तुळाच्या व्यास (D) – केंद्रबिंदूतून निघून जाणार्‍या व वर्तुळाच्या परिघावरील दोन बिंदुना जोडणार्याह रेषाखंडास वर्तुळाचा व्यास म्हणतात.
वर्तुळाचा व्यास हा त्या वर्तुळाचा त्रिज्येचा (R च्या) दुप्पट असतो.
जीवा – वर्तुळाच्या परिघावरील कोणत्याही दोन बिंदूंना जोडणार्‍या रेषाखंडाला वर्तुळाची जीवा म्हणतात.
व्यास म्हणजे वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा होय.
वर्तुळाचा व्यास हा त्रिजेच्या दुप्पट व परीघाच्या 7/12 पट असतो.
वर्तुळाचा परीघ हा त्रिजेच्या 44/7 पट व व्यासाच्या 22/7 पट असतो.
वर्तुळाचा परीघ व व्यासातील फरक = 22/7 D-D = 15/7 D
अर्धवर्तुळाची परिमिती = 11/7 D+D (D=व्यास) किंवा D = वर्तुळाचा व्यास, त्रिज्या (r) × 36/7
अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = परिमिती × 7/36
वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π × (त्रिज्या)2 = πr2 (π=22/7 अथवा 3.14)
वर्तुळाची त्रिज्या = √क्षेत्रफळ×7/22  
वर्तुळाची त्रिज्या = (परीघ-व्यास) × 7/30
अर्धवर्तुळाचे क्षेत्रफळ = π×r2/2 किंवा 11/7 × r2
अर्धवर्तुळाची त्रिज्या = √(अर्धवर्तुळाचे ×7/11) किंवा परिमिती × 7/36
दोन वर्तुळांच्या त्रिज्यांचे गुणोत्तर = त्या वर्तुळांच्या परिघांचे गुणोत्तर.
दोन वर्तुळांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर हे त्या वर्तुळांच्या त्रिज्यांच्या गुणोत्तराच्या किंवा त्या वर्तुळांच्या परिघांच्या गुणोत्तराच्या वर्गाच्या पटीत असते. वर्तुळाची त्रिज्या दुप्पट केल्यास क्षेत्रफळ चौपट येते.
वर्तुळाचे क्षेत्रफळ व परीघ –

घनफळ –

इष्टीकचितीचे घनफळ = लांबी × रुंदी × उंची = (l×b×h)
काटकोनी चितीचे घनफळ = पायाचे क्षेत्रफळ × उंची
गोलाचे घनफळ = 4/3 π×r3 (r=त्रिज्या)
गोलाचे पृष्ठफळ = 4π×r2    
घनचितीचे घनफळ = (बाजू)3= (l)3
घनचितीची बाजू = ∛घनफळ
घनाची बाजू दुप्पट केल्यास घनफळ 8 पट, बाजू चौपट केल्यास घनफळ पटीत वाढत जाते, म्हणजेच 64 पट होते आणि ते बाजूच्या पटीत कमी अथवा वाढत जाते.
घनाचे पृष्ठफळ = 6 (बाजू)2
वृत्तचितीचे (दंडगोलाचे) घनफळ = π×r2×h
वृत्तचितीची उंची (h) = (घनफळ/22)/7×r2 = घनफळ×7/22×r2
वृत्तचितीचे त्रिज्या (r) = (√घनफळ/22)/7×r2 = √घनफळ×(7/22)/h
इतर भौमितिक सूत्रे –

समांतर भूज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = पाया×उंची
समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = 1/2×कर्णाचा गुणाकार
सुसम षटकोनाचे क्षेत्रफळ = (3√3)/2×(बाजू)2
वर्तुळ पाकळीचे क्षेत्रफळ = वर्तुळ कंसाची लांबी × r/2 किंवा θ/360×πr2
वर्तुळ कंसाची लांबी (I) = θ/180×πr
घनाकृतीच्या सर्व पृष्ठांचे क्षेत्रफळ = 6×(बाजू)2
दंडगोलाच्या वक्रपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 2×πrh
अर्धगोलाच्या वर्कपृष्ठाचे क्षेत्रफळ = 3πr2
अर्धगोलाचे घनफळ = 2/3πr3
त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √(s(s-a)(s-b)(s-c) )
शंकूचे घनफळ = 1/3 πr3h 
समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = √3/4×(बाजू)2
दंडगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr(r+h)
अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ = 2πr2
(S = 1/2 (a+b+c) = अर्ध परिमिती) 
वक्रपृष्ठ = πrl
शंकूचे एकूण पृष्ठफळ = πr2 + π r (r+l) r= त्रिज्या, l= वर्तुळ कंसाची लांबी
बहुभुजाकृती –

n बाजू असलेल्या बहुभुजाकृतीच्या सर्व आंतरकोनांच्या मापांची बेरीज (2n-4) काटकोन असते, म्हणजेच 180(n-2)0 किंवा [90×(2n-4)]0 असते.
सुसम बहुभुजाकृतीचे सर्व कोन एकरूप असतात व सर्व बाजू एकरूप असतात.
बहुभुजाकृतीच्या बाह्य कोनांच्या मापांची 3600 म्हणजेच 4 काटकोन असते.
n बाजू असलेल्या सुसम बहुभुजाकृतीच्या प्रत्येक बहयकोनाचे माप हे 3600/n असते.
सुसम बहुभुजाकृतीच्या बाजूंची संख्या = 3600/बाहयकोनाचे माप
बहुभुजाकृतीच्या कर्णाची एकूण संख्या = n(n-3)/2
उदा. सुसम षटकोनाचे एकूण कर्ण = 6(6-3)/2 = 6×3/2 = 9

तास, मिनिटे, सेकंद यांचे दशांश अपूर्णांकांत रूपांतर –

1 तास = 60 मिनिटे    
0.1 तास = 6 मिनिटे  
0.01 तास = 0.6 मिनिटे
1 तास = 3600 सेकंद    
0.01 तास = 36 सेकंद  
1 मिनिट = 60 सेकंद    
0.1 मिनिट = 6 सेकंद
1 दिवस = 24 तास
              = 24 × 60

              =1440 मिनिटे 

              = 1440 × 60

              = 86400 सेकंद

घडयाळाच्या काटयांतील अंशात्मक अंतर –

घड्याळातील लगतच्या दोन अंकांतील अंशात्मक अंतर 300 असते.
दर 1 मिनिटाला मिनिट काटा 60 ने पुढे सरकतो.
दर 1 मिनिटाला तास काटा (1/2)0 पुढे सरकतो. म्हणजेच 15 मिनिटात तास काटा (7.5)0 ने पुढे सरकतो.
तास काटा व मिनिट काटा यांच्या वेगतील फरक = 6 –(1/0)0 = 5(1/2) = (11/2)0 म्हणजेच मिनिटकाट्यास 10 भरून काढण्यास (2/11) मिनिटे लागतात.
दशमान परिमाणे –

विविध परिमाणांत एकमेकांचे रूपांतर करताना खालील तक्ता लक्षात ठेवा.

100 कि.ग्रॅ. = 1 क्विंटल
10 क्विंटल = 1 टन 
  
1 टन = 1000 कि.ग्रॅ.
1000 घनसेंमी = 1 लिटर
1 क्युसेक=1000घन लि.  
12 वस्तू = 1 डझन 
  
12 डझन = 1 ग्रोस  
    
24 कागद = 1 दस्ता
20 दस्ते = 1 रीम  

1 रीम = 480 कागद.
विविध परिमाणे व त्यांचा परस्पर संबंध –

अ) अंतर –

1 इंच = 25.4 मि.मि. = 2.54 से.मी.
1 से.मी. = 0.394 इंच
1 फुट = 30.5 सेमी. 
1 मी = 3.25 फुट
1 यार्ड = 0.194 मी.
          
1 मी = 1.09 यार्ड
ब) क्षेत्रफळ –   

1 स्व्के. इंच = 6.45 सेमी 2
1 सेमी 2 = 0.155 इंच 2
1 एकर = 0.405 हेक्टर
1 हेक्टर = 2.47 एकर = 100 आर/गुंठे
1 स्व्के. मैल = 2.59 कि.मी. 2
1 एकर फुट = 1230 मी. 3 = 1.23 मैल
1 कि.मी. 2 = 0.386 स्व्के.मैल
1 गॅलन = 4.55 लिटर
क) शक्ती –   

1 एच.पी. = 0.746 किलो वॅट
1 किलो वॅट = 1.34 एच.पी.
ड) घनफळ –    1(इंच) 3 = 16.4 सेमी. 2
1 (सेमी) 3 = 0.610 (इंच) 3
क्युबिक फुट (1 फुट) 3 = 0.283 मी. 3
1 मी 3 = 35 फुट 3
1 यार्ड 3 = 0.765 मी. 3
इ) वजन –   

1 ग्रॅम = 0.0353 औंस (Oz) 0
1 पौंड (lb) = 454 ग्रॅम
1 कि.ग्रॅ. = 2.0 पौंड (lb)
वय व संख्या –

दोन संख्यांपैकी मोठी संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज + दोन संख्यातील फरक) ÷ 2
लहान संख्या = (दोन संख्यांची बेरीज – दोन संख्यांतील फरक) ÷ 2
वय वाढले तरी दिलेल्या दोघांच्या वयातील फरक तेवढाच राहतो.
दिनदर्शिका –

एकाच वारी येणारे वर्षातील महत्वाचे दिवस
महाराष्ट्र दिन, गांधी जयंती आणि नाताळ हे दिवस एकाच वारी येतात.
टिळक पुण्यतिथी, स्वातंत्र्यदिन, शिक्षक दिन, बाल दिन हे दिवस एकाच वारी येतात.
नाणी –

एकूण नाणी = एकूण रक्कम × 100 / दिलेल्या नाण्यांच्या पैशांची बेरीज
एकूण नोटा = पुडक्यातील शेवटच्या नोटचा क्रमांक – पहिल्या नोटेचा क्रमांक + 1
पदावली –

पदावली सोडविताना कंस, चे, भागाकार, गुणाकार, बेरीज, वजाबाकी (÷, ×, +, -)
किंवा BODMAS हा क्रम

_____________________________________

बैजीक राशीवरील महत्वाची सूत्रे

 

 a×a = a2

 (a×b) + (a×c) = a (a+c)

 a × b + b= (a+1) × b

 (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

 (a-b)2 = a2 + 2ab + b2

a2-b2 = (a+b) (a-b)
:: a2-b2 / a+b = a-b a2-b2/a-b = a+b
:: (a+b)3 / (a+b)2 = a+b (a+b)3 / (a-b) = (a+b)2
:: (a-b)3 / (a+b)2 = (a-b) (a-b)3 / (a-b) = (a+b)2

 a3 – b3 = (a-b) (a2 + ab+ b2)

 a × a × a = a3

 (a×b) – (a×c) = a (b-c)

a × b- b = (a-1) × b ;
:: a2 + 2ab + b2 / a+b = (a+b)
:: a2 – 2ab + b2 / a-b = (a-b)

 (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a-b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 + b3

 a3 + b3 = (a+b) (a2-ab+b2)
:: a3+b3 / a2-ab+b2 = (a-b)

संख्यामाला भाग 1, सम-विषम व मूळ संख्या

संख्यामाला भाग 1

1. पुढील संख्यामालिकेत पुढील संख्या कोणती येईल – 2, 1, (1/2), (1/4), …

A. (1/3)   

B. (1/8)

C. (2/8)   

D. (1/16)

2. पुढील संख्यामालिकेत पुढील संख्या कोणती येईल -7, 10, 8, 11, 9, 12, …

A. 7          

B. 10 

C. 12          

D. 13

3. पुढील संख्यामालिकेत पुढील संख्या कोणती येईल – 36, 34, 30, 28, 24, …

A. 20         

B. 22

C. 23          

D. 26

4. पुढील संख्यामालिकेत पुढील संख्या कोणती येईल – 22, 21, 23, 22, 24, 23, …

A. 22          

B. 24

C. 25          

D. 26

5. पुढील संख्यामालिकेत पुढील संख्या कोणती येईल – 53, 53, 40, 40, 27, 27, …

A. 12   

B.14

C. 27   

D. 53

6. पुढील संख्यामालिकेत पुढील संख्या कोणती येईल – 21, 9, 21, 11, 21, 13, 21, …

A. 14   

B. 15

C. 21   

D. 23

7. पुढील संख्यामालिकेत पुढील संख्या कोणती येईल – 58, 52, 46, 40, 34, …

A. 26   

B. 28

C. 30   

D. 32

8. पुढील संख्यामालिकेत पुढील संख्या कोणती येईल – 3, 4, 7, 8, 11, 12, …

A. 7   

B. 10

C. 14   

D. 15

9. पुढील संख्यामालिकेत पुढील संख्या कोणती येईल – 8, 22, 8, 28, 8, …

A. 9   

B. 29

C. 32   

D. 34

10. पुढील संख्यामालिकेत पुढील संख्या कोणती येईल – 31, 29, 24, 22, 17, …

A. 15   

B. 14

C. 13   

D. 12

( उत्तरे : Q.1 = B, Q.2 = B, Q.3 = B, Q.4 = C, Q.5 = B, Q.6 = B, Q.7 = B, Q.8 = D, Q.9 = D, Q.10 = A )

______________________________

सम-विषम व मूळ संख्या

नमूना पहिला :

उदा. X ही विषम संख्या आहे, तर क्रमाने येणारी पुढील विषम संख्या कोणती?

X+3

X+2

X-2

X-1

उत्तर : X+2

नियम:
1) विषम संख्येत 2 मिळविल्यास पुढील संख्या विषम संख्या मिळते.
2) विषम संख्येत 1 मिळविल्यास पुढील संख्या सम संख्या मिळते.
3) सम संख्येत 2 मिळविल्यास पुढील संख्या सम संख्या मिळते.
4) सम संख्येत 1 मिळविल्यास पुढील संख्या विषम संख्या मिळते.

नमूना दूसरा :

उदा. खालीलपैकी कोणत्या संख्येला 3 ने गुणाकार सम संख्या येईल?

231

233

235

232

उत्तर : 232

सूत्र :
 विषम संख्या × सम संख्या = सम संख्या
उदा. 232 ही सम संख्या × 3 ही विषम संख्या = 696 ही सम संख्या येईल.

नमूना तिसरा :

उदा. 40 ते 50 दरम्यानच्या विषम संख्यांनी बेरीज किती?

25

180

225

405

उत्तर : 225

स्पष्टीकरण :
40 ते 50 दरम्यानच्या विषम संख्या = 41, 43. 45, 47, 49 यांची सरासरी = 45 ही मधली संख्या
एकूण बेरीज = सरासरी × एकूण संख्या (5) = 45 × 5 = 225   किंवा
क्रमश: संख्यांची बेरीज = पहिली संख्या + शेवटची संख्या / 2 × एकूण संख्या
= 41+49 / 2 × 5= 90 / 2 × 5
नियम : क्रमश: 10 नैसर्गिक संख्यांमध्ये 5 चा फरक असतो.
:: 1 ते 50 मध्ये 5 × 5 = 25 चा फरक येईल.

नमूना चौथा :

उदा. 1 ते 100 पर्यंतच्या संख्यांत 1 हा अंक किती वेळा येतो?

21

19

20

18

उत्तर : 21

नियम :
1) 1 ते 100 पर्यंतच्या संख्यात 1 हा अंक 21 वेळा येतो.
2) 0 हा अंक 11 वेळा येतो व राहिलेले 2 ते 9 पर्यंतचे अंक प्रत्येकी 20 वेळा येतात.
3) दोन अंकी संख्येत 1 ते 9 अंक प्रत्येकी 19 वेळा येतात.
4) 1 ते 9 या प्रत्येक अंक असलेल्या दोन अंकी प्रत्येकाच्या 18 संख्या असतात.

वाक्य पृथक्करण व त्याचे प्रकार

वाक्य पृथक्करण व त्याचे प्रकार:-

पृथक म्हणजे वेगळे किंवा सुटे करणे असा होतो आणि वाक्यपृथक्करण म्हणजे वाक्यातील भाग वेगळा करून दाखविणे.
उद्देश विभाग (उद्देशांग) विधेय विभाग (विधेयांग)
1) उद्देश (कर्ता) 1) कर्म व कर्म विस्तार
2) उद्देश विस्तार 2) विधानपूरक
3) विधेय विस्तार
4) विधेय (क्रियापद)
उद्देश विभाग/ उद्देशांग :
1 ) उद्देश (कर्ता)

वाक्य ज्याच्या विषयी माहिती सांगते तो वाक्याचा कर्ता असतो. क्रियापदातील धातुला णारा, णारे, णारी, हे प्रत्यय जोडून कोण / काय ने प्रश्न विचारल्यास उत्तर कर्ता येते.

उदा.

रामुचा शर्ट फाटला. (फाटणारे काय/कोण?)
रामरावांचा कुत्रा मेला. (मरणारे कोण/काय?)
मोगल साम्राज्याचा अंत झाला. (होणारे-कोण/काय?)
रामुच्या घराचा दरवाजा उघडला. (उघडणारे कोण/काय?)
वरील वाक्यात शर्ट, कुत्रा, अंत, दरवाजा हे उद्देश (कर्ता) आहेत.

2) उद्देश विस्तार

कर्त्याविषयी माहिती सांगणारे शब्द जर कर्त्यापूर्वी असतील तर अशा शब्दांना उद्देश विस्तारात लिहावे.

उदा.

शेजारचा रामु धपकन पडला.
नियमित अभ्यास करणारे विधार्थी पास होतात.
विधेय विभाग/ विधेयांग :
वाक्यात ज्यांच्यावर क्रिया घडते ते कर्म असते म्हणजेच क्रिया सोसणारे कर्म असते.

उदा.

रामने झडाचा पेरु तोडला. (या वाक्यात तोडण्याची क्रिया पेरु वर झाली म्हणून ते कर्म).
गवळ्याने म्हशीची धार काढली. (या वाक्यात काढण्याची क्रिया धारेवर झाली म्हणून ते कर्म).
1) कर्म विस्तार

कर्मापूर्वी कर्माविषयी माहिती सांगणारा शब्द म्हणजे ‘कर्म विस्तार’ होय.

उदा.

रामने झाडाचा पेरु तोडला.
गवळ्याने काळ्या म्हशीची धार काढली.
2) विधान पूरक

कर्त्याविषयी माहिती सांगणारा शब्द जर कर्त्यांनंतर आला तर ते ‘विधानपूरक’ असते.

उदा.

राम राजा झाला.
संदीप शिक्षक आहे.
शरदाच्या चांदण्यात गुलमोहर मोहक दिसतो.
वरील वाक्यावरुन राजा, शिक्षक, मोहक ही शब्द कर्त्याविषयी अधिक महितीसांगत आहेत म्हणून त्यांना ‘विधानपूरक’ असे म्हणतात.

3) विधेय विस्तार

क्रियापदास विधेय असे म्हणतात.
वाक्यात क्रियापदाविषयी माहिती सांगणार्‍या शब्दांचा यात समावेश होतो.
क्रियापदाला केव्हा/ कोठे/ कसे ने प्रश्न विचारल्यास ‘विधेय विस्तार’ उत्तर येते.
ही सर्व क्रियाविशेषणे असतात.
उदा.

कुटुंबातील सर्व व्यक्ती रविवारी वनभोजनास गेले.
शरदाच्या चांदण्यात गुलमोहर मोहक दिसतो.
माझा जिवलग मित्र मनीष माझे पत्र पाहताच त्वरित आला.
4) विधेय/क्रियापद

वाक्यातील क्रियापदाला ‘विधेय’ असे म्हणतात.

उदा.

रमेश खेळतो.
रमेश अभ्यास करतो.
रमेश चित्र काढतो.