गणिताच्या मुलभूत क्रिया
| बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार व भागाकार यांचे नियम
गणिताच्या मुलभूत क्रिया (Mathematical Basic Operations)
सर्वप्रथम आपण बेरीज आणि बेरजेचे काही नियम बघणार आहोत ....
बेरीज आणि बेरजेचे नियम(Addition and their rules)
बेरीज : बेरीज म्हणजे थोडक्यात एका संख्येत दुसरी मिळवणे म्हणजेच बेरीज करणे होय.
बेरीज करत असतांना नेहमी उजवीकडून डावीकडे बेरीज करायची असते
उदा : ८+५ = १३
आता वेगवेगळ्या जस की पूर्णाक, अपूर्णांक, विषम संख्या या प्रकारच्या संख्यांची बेरीज करत असतानी काही नियम पाळायचे असतात ते आपण जाणून घेऊया.
साध्या व सरळ संख्येच्या बेरजेच्या पद्धती
साध्या संख्येची बेरीज करतांना कोणतेही असे नियम लागत नाही फक्त कोणत्याही संख्येची बेरीज करतानी एवढे लक्षात ठेवावे की बेरीज ही उजव्या बाजूने सुरु करायची.
उदा : २१९०+१२२४+५५३१=?
बेरीज= ८९४५
अशा मोठ्या संख्यांची बेरीज करतांना पहिले एकक स्थानातील संख्येची बेरीज करावी व नंतर दशक स्थानच्या अंकांची बेरीज करून ती बेरजेच्या एककस्थानी लिहावी. बेरीज करतानी कोणत्याही संख्येचा क्रम चुकणार नाही याची काळजी घ्यावी.
अपुर्णाकाच्या बेरीज करण्याच्या पद्धती
अपूर्णांक संख्येची बेरीज करतांना सर्वात पहिले सर्व संख्यांचे छेद सारखे करून घ्यावे. छेद समान करण्यासाठी दिलेल्या संख्येचा लसावी काढावा किवा छेद समान करून घ्यावा आणि छेद सारखा झाल्यास तो एकदाच लिहून अंशांच्या अंकांची बेरीज घ्यावी आणि नंतर अंश आणि छेदाला भाग जात असेल तर भाग द्यावा.
उदा : ३/२+४/५+५/४ येथे सर्वप्रथम आपण छेद समान करून घेऊया.
=(३*१०)/(२*१०)+(४*४)/(५*४)+(५*५)/(४*५)
= ३०/२०+१६/२०+२५/२० आता छेद समान झाला तो एक वेळा लिहून अंशाची बेरीज करून घेऊ.
= ७१/२० आता या मध्ये भाग जात असल्यास द्यावा नाही तर तो अंक तसाच ठेवावा.
दशांश अपुर्णाकाची बेरीज करण्याची पद्धती
दशांश अपुर्नाकाची बेरीज सोपी आणि सरळ पद्धतीने करण्यासाठी सर्व संख्या एका खाली एक अशी मांडणी करून घ्यावी.
उदा १: २३.६०+४५.४०+१२.२८=?
आता या दशांश अपुर्णाकाच्या खाली दशांश अपूर्णाक अशी मांडणी करून घेऊया.
२३.६०
+४५.४०
+६०.४०
________
१२९.४०
आता सोडून दाखविल्याप्रमाणे दशांश चीन्हाखाली दशांश चिन्ह घेऊन मांडणी करावी आणि बेरीज करून दशांश चिन्हानंतरच्या संख्या मोजून दशांश चिन्ह द्यावे.
उदा २: १८.२०+२२.४+३१.६०=?
वरील उदाहरणातील मधली संख्या (२२.४) दशांश स्थळानंतर इतर दोन्ही संख्यांपेक्षा छोटी आहे त्यामुळे त्या संखेमध्ये ० लाऊन ती संख्या समान करून घ्यायची व मग बेरीज करायची
१८.२०
+२२.४० (संख्या पूर्ण करून)
+३१.६०
_________
७२.२०
पूर्णांकयुक्त अपूर्णांकाच्या बेरजेची पद्धत
पूर्णांक युक्त अपूर्णांकाची बेरीज करताना सर्वप्रथम अपूर्णांकाची बेरीज करून घ्यावी आणि त्यानंतर अपूर्णांकाची बेरीज करून ती बाजूला लिहावी,
उदा: ८ १/३ +७ १/२
= (८+७) (१/३+१/२) पूर्णाक आणि अपूर्णांक वेगळे करून आता त्यांची बेरीज करूया
= (१५) (५/६)
= १५ ५/६
क्रमवार विषम संख्येच्या बेरजेच्या पद्धती
क्रमवार विषम संख्यांची बेरीज करीत असताना त्या संख्यामालेची सुरुवात १ ने होत असेल तर त्या संख्यामालेत जो मधला अंक आहे त्या मधल्या अंकाचा वर्ग म्हणजे त्या पूर्ण संख्यांची बेरीज होय.
उदा: १+३+५+७+९+११+१३
मधला अंक = ७
आता या ७ चा वर्ग ७² = ४९
४९ ही वरील उदाहरणातील संख्यामालेची बेरीज राहील.
क्रमवार विषम संख्यांची बेरीज करताना त्या संख्यामालेत जर १ नसेल तर मधल्या अंकाचा वर्ग करून येणारी संख्या बरोबर उत्तर राहत नाही त्यामुळे अशा वेळेस मधल्या अंक गुणेला संख्यामालेतील एकूण संख्या किती हे मोजून त्यांचा गुणाकार करून येणारे उत्तर हे त्या संख्या मालेचे उत्तर असते.
उदा: ३+५+७+९+११+१३+१५
= मधला अंक * एकूण संख्या
= ९*७
= ४२ हे उत्तर होईल.
क्रमवार सम संख्येच्या बेरजेची पद्धती
क्रमवार समसंख्या ची बेरीज करीत असताना त्या संख्या मालेतील मधला अंक गुणेला संख्या मालेतील एकूण अंक याचा गुणाकार करून येणारे उत्तर म्हणजे त्या संख्या मालकीची बेरीज होय.
उदा१: २+४+६+८+१०
= मधला अंक * एकूण संख्या
= ६*५
= ३०
उदा२: २+४+६+८+१०+१२
= मधला अंक * एकूण संख्या
= ७*६
= ४२
उदाहरण २ प्रमाणे मधला अंक सम संख्यामधून निघत नसल्यास मधल्या २ संख्यातील मधलाअंक घ्यावा.
क्रमवार संख्येच्या बेरजेची पद्धती
क्रमवार सम संख्येची बेरीज करताना जो नियम लागतो तोच नियम क्रमवार संख्येची बेरीज करताना देखील उपयोगी येतो .
संख्यामालेतील मधली संख्या * संख्यामालेतील एकूण संख्या
उदा१: १+२+३+४+५+६+७+८+९
बेरीज = मधली संख्या * एकूण संख्या
= ५*९
= ४५
उदा२: १+२+३+४+५+६+.......+११=?
या उदाहरणामध्ये पूर्ण संख्या देलेल्या नाही अश्या वेळेस मधली संख्या काढायला त्रास होतो अशा वेळेस खालील सूत्राचा वापर करावा.
संख्यामालेतील सुरवातीची संख्या + संख्यामालेतील शेवटची संख्या
___________________________________________________
या सूत्रातून मधली संख्या प्राप्त होईल
१+११/२ =१२/२
= ६
आता मधली संख्या आणि एकूण संख्या यांचा गुणाकार करून दिलेल्या संख्या मालेची बेरीज मिळेल
६*११
= ६६
क्रमवार घन संख्या ची बेरीज पद्धत
क्रमवार धडा संख्यांची बेरीज करीत असताना केवळ त्या क्रमावर येणाऱ्या संख्यांची बेरीज करावी ती बेरीज करून आलेल्या उत्तराचा वर्ग करावा म्हणजेच क्रमवार घनसंख्येची बेरीज मिळेल.
उदा१: १³+२³+३³+४³+५³
= (१+२+३+४+५)²
= (१५)²
= २२५
उदा२: १³+२³+३³+४³+५³..........१५³
बेरीज = मधला अंक + एकूण अंक
= ८*१५
= (१२०)²
= १४४००
शतमान स्वरूपातील अंकांची बेरजेची पद्धत
शतमान स्वरूपातील अंकाची बेरीज करताना प्रथम टक्क्याचे चिन्ह उडवून टाकावे त्यासाठी१/१०० ने सर्व संख्या ला गुणाकाराचे नियम लावून गुणावे व नंतर मिळालेल्या सर्व अपूर्णांक संख्यांना अपूर्णांकाच्या बेरीज पद्धतीने बेरीज करून घ्यावी.
उदा: ४/३%+५/२%+१/३%
= ३/३*१/१००+४/२*१/१००+१/३*१/१००
= ४/३००+५/२००+१/३००
आता सर्व अपूर्णांक संख्येचे छेद समान करून घेऊ
= २*४/२*३००+५*३/३*२००+२*१/२*३००
= ८/६००+१५/६००+२/६००
= २५/६००
= २५/६
मापन पद्धतीतील बेरीज
मापन पद्धती ची बेरीज करताना त्या पद्धतीत मिटर, किलोग्रॅम, लीटर, सेंटीमीटर, अशा पद्धतीत उदाहरणे दिलेली असतात अशा अंकांची बेरीज करीत असताना दिलेली सर्व मापके ही ठराविक एककात बदलून घ्यावी व त्यानंतर त्या अंकांची बेरीज करावी
उदा: १५.३ मीटर + ४५ सें. मी. + ७८ मि.मी.
आता या सर्व मापकांना मिलीमीटर या एककात बदलून घेऊया
१५.३ मीटर = १५३०० मि. मी.
४५ से.मी. = ४५० मि. मी.
७५ मि. मी. = ७५ मि. मी.
____________
१५८२५ मि. मी.
वजाबाकी आणि वजाबाकीचे नियम(Subtraction And Their Rules)
वजाबाकी: दोन संख्येतील फरक काढण्यासाठी जी गणितीय क्रिया करण्यात येते त्याला वजाबाकी असे म्हणतात.
उदा: १५ - ८ = ७
आता आपण वजाबाकीचे काही नियम व पद्धती बघूया.
अपुर्णाकाची वजाबाकी पद्धती
अपूर्णांकाची वजाबाकी करताना दोन पद्धती वापरल्या जातात एक म्हणजे तिरकस गुणाकार करून आणि दुसरी म्हणजे हेच समान करून या दोन्ही पद्धती आता आपण बघुया
जेव्हाही आपण दोन अपूर्णांकाचा संख्यांची वजाबाकी करतो तेव्हा त्याचा प्रथम तिरकस गुणाकार करावा किंवा प्रथम उजव्या बाजूने अंकाचा गुणाकार करून लिहावा नंतर अपूर्णांक संख्या च्या मध्ये वजाबाकी चे चिन्ह असल्यामुळे वजाबाकी चे चिन्ह द्यावे पुढे परत डाव्या बाजूने तिरपा गुणाकारकरावा आणि शेवटी छेदाचाछेदाचा गुणाकार करून छेदस्थानी लिहावा त्यानंतर अंशाच्या ठिकाणी असलेल्या अंकाची अगोदर वजाबाकी करावी व पुढे अंश व छेदाचा भाग जात असल्यास तो द्यावा अन्यथा ती संख्या तशीच ठेवावी.
पद्धत१: तिरका गुणाकार करून वजाबाकी करणे
८/५ - ६/५ = ?
(८*५) - (६*५)
___________
(५*५)
४० - ३०
_______
२५
१०/२५ अंश आणि छेदाला भाग देऊन
२/५ हे उत्तर असेल
पद्धत२ : छेद समान करून वजाबाकी करणे
९/२ - ३/५ =?
(५*९) - (२*३)
___________
(२*३) - (५*२)
४६/१० - ६/१०
४५-६
____
१०
३९/१०
३.९ हे उत्तर
मापन पद्धतीतील वजाबाकी
या वजाबाकीच्या पद्धतीमध्ये वजाबाकी करताना सर्वात पहिले दिलेली सर्व मापे एका एककात करून घ्यावी आणि नंतर एका खाली एक असे मांडून वजाबाकी करून घ्यावी.
३.५० कि. ग्रा. - १.५ कि. ग्रा - १३० ग्राम = ?
आता या सर्व मापांना ग्राम या एककात बदलून घेऊया
३.५० कि. ग्रा = ३५०० ग्राम
१.५ कि. ग्रा = १५०० ग्राम
१३० ग्राम
आता यांना एका खाली एक मंधून घेऊया
३५००
-१५००
- १३०
______
१८७० ग्राम हे शेवटचे उत्तर
पूर्णाकयुक्त अपुर्णाकाची वजबाकी पद्धत
पूर्णाकयुक्त अपुर्णाकाची वजाबाकी करताना पहिले पूर्णाक संख्येची वजाबाकी एका कंसात करून घ्यावी आणि नंतर बेरजेचे चिन्ह देऊन अपूर्णांक संख्येची वजाबाकी करून घ्यावी. त्यानंतर दोन्ही कंस वेगवेगळे सोडवून त्यांची बेरीज करून घ्यावी व उत्तर काढावे
उदा २५ १/४ -१२ १/८ – ३ १/१६
(२५-१२-३)+ (१/४-१/८-१-१६)
(१०)+ (१*४/४*४-१*२/८*२-१/१६)
(१०) + (४/१६-२/१६-१/१६)
(१०) + १/१६
१० १/१६ हे उत्तर येईल
वर्ग संख्येची वजाबाकी पद्धत
वर्ग संख्येची वजाबाकी करण्याची पद्धत फार सोपी आहे त्यासाठी A² + B² = (a + b)(a - b)
या सूत्राचा उपयोग करून उदाहरण सोडवले जाते.
उदा: (१५)² - (२८)²
सूत्र: A² - B² = (a + b)(a - b)
(२८²-१५²) = (२८+१५)(२८-१५)
= ४३*१३
= ५५९
वर्गमुळाची वजाबाकी करण्याची पद्धत
वर्गमुळाची वजाबाकी करायची झाल्यास सर्वात पहिले वर्गमुळात असलेल्या संख्यांचे वर्गमूळ काढून घ्यावे व त्यानंतर त्या संख्येची वजाबाकी करून घ्यावी. या शिवाय जर वर्गमुळात पुन्हा कधी वर्ग संख्या असल्यास ती वर्ग संख्या करावी आणि नंतर त्यांची वर्गमुळामध्येच वजाबाकी करावी आणि शेवटी येणारे उत्तर लिहावे त्यानंतर येणाऱ्या उत्तराचे वर्गमूळ निघत असेल तर ते काढून शेवटचे उत्तर लिहावे.
उदा१: √१२*१२*२*२ - √११*११*२*२
= १२*२ – ११*२
= २४ – २२
= २
उदा२: ८√४ – ४√८*२
= ८√४ – ४√२*२*४
= ८√४ – ४*२√४
= ८√४ – ८√४
= ०
________________________________
गुणाकार व गुणाकाराचे नियम (Multiplication And Their Rules)
गुणाकार : एका संख्येची विशिष्ट पट काढतांना केलेली क्रिया म्हणजे गुणाकार त्याच प्रमाणे एखाद्या संख्येची विशिष्ट संख्येचा पटीत केलेली बेरीज म्हणजे गुणाकार होय.
८ * ४ = ३२
८+८+८+८ = ३२
८ ची ४ वेळा बेरीज म्हणजे ८ ला ४ ने गुणने
गुणाकारात प्रामुख्याने तीन संख्या असतात. पहिली संख्या म्हणजे गुण्य जिला गुणायचे आहे ती संख्या, दुसरी संख्या म्हणजे गुणक ज्या संख्येने आपल्याला गुणायचे आहे ती संख्या, आणि तिसरी संख्या म्हणजे गुणाकार अर्थातच गुण्य आणि गुणक या संख्येचा गुणाकार करून आलेले उत्तर
गुणाकाराचे काही नियम पुढील प्रमाणे
१ या संख्येने कोणत्याही संख्येला गुणले असता गुणाकार तीच संख्या येते.
गुणाकार करताना संख्यांचा क्रम मागे पुढे केला तरीही त्याच्या गुणाकारात काहीही फरक पडत नाही.
गुणाकार करताना कोणत्याही संख्येला ० ने गुणले असता किंवा ० या संख्येला कोणत्याही संख्येने गुणले असता गुणाकार म्हणजेच येणारे उत्तर हे ० असते.
गुणाकार करताना एक संख्या धन असेल व दुसरी संख्या ऋण असेल तर येणारा गुणाकार हा ऋण संख्या येत असते.
गुणाकार करताना जर दिलेल्या दोन्ही संख्या धन असेल तर येणारे उत्तर देखील धन संख्याच येत असते.
दोन ऋण संख्यांचा गुणाकार देखील धन संख्याच येत असते.
गुणाकार करण्याच्या पद्धतीमध्ये काही नमुने बघितले असता ते नमुने लक्षात ठेऊन गुणाकार केल्यास तो सोडवणे अगदी सोपे जाते त्यामुळे गुणाकार करतांना खालील काही सूत्र लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे.
(a) x(a+b) = xa+xb
(b) (x+y) (a+b) = xa+xb+ya+yb
(c) (x-y) (a+b) = xa+xb-ya-yb
(d) (x-y) (a-b) = xa-xb-ya+yb
(e) (a+b)² = a²+2ab+b²
(f) (a-b)² = a²-2ab+b²
(g) (a²- b²) = (a-b)(a+b)
(h) (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²-b³
(i) (a-b)³ = a³ -2a²b+3ab²-b³
(j) a³-b³ = (a-b)(a²-ab+b²)
(k) a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
या सूत्रांचा वापर करून आपण अजून लवकर गुणाकार क्रिया करू शकतो.
________________________
भागाकार आणि त्यांचे नियम (Divisions And Their Rules)
भागाकार: संख्यामालेतील एखाद्या संख्येची केलेली विभागणी म्हणजे भागाकार
भागाकार करण्याची पद्धत सोपी असते त्यांना एका विशिष्ट स्वरुपात बसवले तर आपण अगदी सहज भागाकार करू शकतो भागाकार करताना काही महत्वाच्या संज्ञा लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे ते आपण बघूया.
ज्या संख्याला आपल्याला भागायचे आहे त्या संख्येला भाज्य असे म्हणतात.
ज्या संख्येने आपल्याला भाग्याचे आहे त्या संख्येला आपण भाजक असे म्हणतो.
आपण ज्या भाज्य संख्येला भाजक संख्येने भागून जे उत्तर येते त्याला आपण भागाकार असे म्हणतो; आणि भागाकार पूर्ण होऊन खाली जी संख्या उरते तिला आपण बाकी असे म्हणतो.
आपण भागाकार केल्या नंतर खाली बाकी ० उरत असल्यास अश्या संख्यांना आपण विभाज्य संख्या असे म्हणतो; आणि याउलट जर बाकी कोणती संख्या उरत असल्यास त्या संख्यांना आपण अविभाज्य संख्या असे म्हणतो.
भागाकार, भागाकार म्हणजे काय, भागाकार कसा करायचा
भागाकार
कोणत्याही संख्येला १ के भागीतल्यास भागाकार तीच संख्या येत असते आणि कोणत्याही संख्येला ० ने भाग भागता येत नाही.
भाज्य = भाजक * भागाकार+बाकी
एखाद्या धन संख्येला दुसऱ्या धन संख्येने भागीतले असता भागाकार म्हणजेच येणारे उत्तर हे धन संख्याच येते.
एखाद्या ऋण संख्येला धन संख्याने भाग दिला असता उत्तर हे ऋण संख्याच येत असते.
एख्याद्या धन संख्येला ऋण संख्येने भाग दिला असता उत्तर हे ऋण संख्याच येत असते.
एखाद्या ऋण संख्येला दुसऱ्या ऋण संख्येने भागीतले असता भागाकार म्हणजेच येणारे उत्तर हे धन संख्याच येते.
एखाद्या संख्येच्या अंकांच्या बेरजेला एखाद्या विशिष्ट अंकाने भाग जात असल्यास तर त्या पूर्ण संख्येला त्या विशिष्ट संख्येने पूर्ण भाग जातो.
उदा: ४७४५
४+७+४+५ = २०
२० या संख्येला ५ ने पूर्ण भाग जातो
म्हणून ४७४५ या संख्येला देखील ५ ने पूर्ण भाग जातो.
एखाद्या संख्येच्या एकक स्थानाच्या ठिकाणी ० किंवा ५ हे अंक असतील तर त्या पूर्ण संख्येला ५ ने पूर्ण भाग जातो.
ज्या संख्येला ३ आणि ५ या दोन संख्यांनी भाग जातो त्या संख्यांना १५ ने देखील पूर्ण भाग जातो.
निष्कर्ष
अश्याप्रकारे आपला आजचा topic गणिताच्या मुलभूत क्रिया हा पूर्ण झाला आहे यामध्ये आपण बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार या चारही क्रियांबद्दल सविस्तर जाणून घेतले आहे या सर्व गणित क्रियांचे नियम व सुत्र देखील बघितले आहे आणि सर्व उदाहरणासह समजून घेतले आहे.
_________________________
संबंधित प्रश्न उत्तरे
१) बेरीज म्हणजे काय ?
उ: बेरीज म्हणजे थोडक्यात एका संख्येत दुसरी मिळवणे म्हणजेच बेरीज करणे होय.
२) वजाबाकी म्हणजे काय ?
उ: दोन संख्येतील फरक काढण्यासाठी जी गणितीय क्रिया करण्यात येते त्याला वजाबाकी असे म्हणतात.
३) गुणाकार म्हणजे काय ?
उ: एखाद्या संख्येची विशिष्ट संख्येचा पटीत केलेली बेरीज म्हणजे गुणाकार होय.
४) भागाकार म्हणजे काय ?
उ: संख्यामालेतील एखाद्या संख्येची केलेली विभागणी म्हणजे भागाकार होय.
